Sabtu, 02 Januari 2016

makalah RME

BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang
Akhir-akhir ini Pembelajaran matematika sedang marak dibicarakan adalah Realistic Mathematics Education (RME). RME diketahui sebagai pendekatan yang telah berhasil di Belanda. Gagasan pendekatan pembelajaran matematika dengan realistik ini tidak hanya populer di Negeri Belanda saja, namun di negara indonesiatelah menggunakan pendekatan baru yaitu pendekatan realistik. Matematika realistik banyak ditentukan oleh pandangan Hans Freudenthal tentang matematika. Dua pandangan penting beliau adalah ‘mathematics must be connected to reality and mathematics as human activity ’. Pertama, matematika harus dekat terhadap siswa dan harus relevan dengan situasi kehidupan sehari-hari. Kedua, ia menekankan bahwa matematika sebagai aktivitas manusia, sehingga siswa harus di beri kesempatan untuk belajar melakukan aktivitas semua topik dalam matematika.
RME (Realistic Mathematics Education) adalah pendekatan pengajaran yang bertitik tolak dari hal-hal yang ‘real‘ bagi siswa, menekankan keterampilan ‘proses of doing mathematics’, berdiskusi dan berkolaborasi, berargumentasi dengan teman sekelas sehingga mereka dapat menemukan sendiri (‘student inventing‘ sebagai kebalikan dari ‘teacher telling’) dan pada akhirnya menggunakan matematika itu untuk menyelesaikan masalah baik secara individu maupun kelompok. Pada pendekatan ini peran guru tak lebih dari seorang fasilitator,moderator atau evaluator sementara siswa berfikir, mengkomunikasikan, melatih nuansa demokrasi dengan menghargai pendapat orang lain.


1.2RUMUSAN MASALAH
1.   Bagaimana pengertian pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
2.Apa saja komponenpendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
3.Apa saja prinsip dan ciri-ciri pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
4.Apa saja tipe matematisasipendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
5. bagaimana tahap-tahap pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
6. apa saja manfaat pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
7. apa saja kelebihan dan kekurangan pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
1.3 TUJUAN
1.   memahami pengertian pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
2.memahami komponenpendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
3.memahami prinsip dan ciri-ciri pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
4. memahami tipe matematisasipendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
5. memahami tahap-tahap pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
6. memahami manfaat pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
7. memahami kelebihan dan kekurangan pendekatan pembelajaran RME (Realistic Mathematics Education)?
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Dalam makalah ini, penulis mencoba mengetengahkan beberapa teoristik dalam penerapannya dalam pembelajaran matematika, baik itu teori yang berasal dari RME(Realistic Mathematics Education) dari negara asalnya ataupun penerapan dan perkembagannya di Indonesia.
A. Pradigma Baru Pendidikan
Menurut Zamroni (2000) dalam Hadi (2003) paradigma baru pendidikan menekankan bahwa proses pendidikan formal sistem persekolahan harus memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1) Pendidikan lebih menekankan pada proses pembelajaran (learning) daripada mengajar (teaching);
2) Pendidikan diorganisir dalam suatu struktur yang fleksibel;
3) Pendidikan memperlakukan peserta didik sebagai individu yang memiliki karakteristik khusus dan mandiri; dan
4) Pendidikan merupakan proses yang berkesinambungan dan senantiasa berinteraksi dengan lingkungan dan pengetahuan yang dimiliki setiap siswa.
Sehubungan dengan pendapat tentang pradigma pendidikan baru tersebut, dapat disimpulkan bahwa dalam proses belajar mengajar siswa harus senantiasa diaktifkan dalam menggali pengetahuannya, pendidikan saat ini harus mengikuti perkembangan zamannya, dalam pendidikan perlunya penyesuaian dengan kemampuan yang dimiliki anak, dan pendidikan hendaknya tidak semata-mata terjadi di kelas saja.
Selanjutnya dalam Sutarto Hadi (2003) bahwa RME mempunyai konsep tentang siswa, peran guru, dan proses pengajaran yang membedakan dengan pendekatan belajaran lainnya. 
Konsep Terhadap Siswa
Ø  RME memiliki konsep tentang siswa sebagai berikut:
1) Siswa memiliki seperangkat konsep alternatif tentang ide-ide matematika yang mempengaruhi belajar selanjutnya;
2) Siswa memperoleh pengetahuan baru dengan membentuk pengetahuan itu untuk dirinya sendiri;
3) Pembentukan pengetahuan merupakan proses perubahan yang meliputi penambahan, kreasi, modifikasi,penghalusan, penyusunan kembali, dan penolakan;
4) Pengetahuan baru yang dibangun oleh siswa untuk dirinya sendiri berasal dari seperangkat ragam pengalaman;
5) Setiap siswa tanpa memandang ras,suku,budaya dan jenis kelamin mampu memahami dan mengerjakan matematika.
Konsep Terhadap Guru
Ø  RME mempunyai konsepsi tentang guru sebagai berikut:
1)  Guru hanya sebagai fasilitator dan motivator belajar;
2)  Guru harus mampu membangun pengajaran yang interaktif;
3)  Guru harus memberikan kesempatan kepada siswa untuk secara aktif menyumbang pada proses belajar dirinya, dan secara aktif membantu siswa dalam menafsirkan persoalan riil; dan
4)  Guru tidak terpancang pada materi yang termaktub dalam kurikulum, melainkan aktif mengaitkan kurikulum dengan dunia-riil, baik fisik maupun sosial. 
Konsep Terhadap Pengajaran
Ø  Pengajaran matematika dengan pendekatan RME meliputi aspek-aspek berikut:
1) Memulai pelajaran dengan mengajukan masalah (soal) yang “riil(nyata)” bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat pengetahuannya, sehingga siswa segera terlibat dalam pelajaran secara bermakna;
2) Permasalahan yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pelajaran tersebut;
3) Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik secara informal terhadap persoalan/masalah yang diajukan;
4) Pengajaran berlangsung secara interaktif: siswa menjelaskan dan memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya (siswa lain), setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif penyelesaian yang lain; dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil pelajaran.
B.        Soal-soal Kontekstual dan Macamnya
Dalam Zulkardi dan Ratu Ilma dinyatakan bahwa Pembelajaran matematika di sekolah  haruslah bermakna dan berguna bagi anak dalam kehidupan mereka sehari-hari. Soal kontekstual matematika adalah merupakan soal-soal matematika yang menggunakan berbagai konteks sehingga menghadirkan situasi yang pernah dialami secara real bagi anak. Pada soal tersebut,  konteksnya harus sesuai dengan konsep matematika yang sedang dipelajari. Konteks itu sendiri dapat diartikan dengan situasi atau fenomena/kejadian alam yang terkait dengan konsep matematika yang sedang dipelajari.
Sementara itu dalam RME soal-soal yang digunakan adalah soal-soal yang berkonteks sebagai titik awal bagi siswa dalam mengembangkan pengertian matematika dan sekaligus menggunakan konteks tersebut sebagai sumber aplikasi matematika.
Menurut de Lange (1987, dalam Zulkardi) ada empat macam masalah konteks atau situasi, yaitu:
1)   Personal Siswa
Situasi yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari siswa baik di rumah dengan keluarga, dengan teman sepermainan, teman sekelas dan kesenangannya.
2)   Sekolah/ Akademik
Situasi yang berkaitan dengan kehidupan akademik di sekolah, di ruang kelas, dan kegiatan-kegiatan yang terkait dengan proses pembelajaran.
3)   Masyarakat / Publik 
Situasi yang terkait dengan kehidupan dan aktivitas masyarakat sekitar dimana siswa tersebut tinggal.
4)   Saintifik / Matematik
Situasi yang berkaitan dengan fenomena dan substansi secara saintifik atau berkaitan dengan matematika itu sendiri.
Tujuan penggunaan konteks adalah untuk menopang terlaksananya proses guided reinvention (pembentukan model, konsep, aplikasi, dan mempraktekkan skill tertentu). Selain itu, penggunaan konteks dapat memudahkan siswa untuk mengenali masalah sebelum memecahkannya.  Konteks dapat dimunculkan tidak harus pada awal pembelajaran tetapi juga pada tengah proses pembelajaran, dan pada saat asesmen atau penilaian. 
C. Desain Pembelajaran Matematika Realistik
Desain pembelajaran matematika realistik, sebagai berikut.
a.       Tujuan
Lange (1995) menyatakan bahwa terdapat tiga tingkatan tujuan dalam pendidikan matematika yaitu:
(1)   Lower level
(2)   Middle level
(3)   Higher order level
Pembelajaran matematika realistik haruslah meliputi semua tingkatan tujuan. Tingkat rendah lebih difokuskan pada pengetahuan konseptual dan prosedural. Tingkat menengah dan atas lebih difokuskan kepada kemampuan pemecahan masalah, berargumentasi, berkomunikasi, dan pembentukan sikap kritis siswa.
b.      Materi
Lange (1996) menegaskan bahwa “Materi merupakan asosiasi aktivitas kehidupan nyata yang sangat spesifik, pengetahuan dan strategi digunakan dalam konteks dari situasi”. Beragam soal kontekstual digabungkan dalam kurikulum di mulai dari awal.
c.       Aktivitas
Peran guru dalam pembelajaran matematika realistik di dalam kelas (Lange, 1996; Gravemeijer, 1994) adalah sebagai fasilitator, pengatur, penterjemah, dan evaluator sebagai dasar dari suatu proses matematika, secara umum dapat digambarkan langkah-langkah peran guru sebagai proses dasar dalam pembelajaran matematika realistik sebagai berikut.
1.      Berikan soal kontekstual pada siswa yang berhubungan dengan topik pembelajaran sebagai titik awal.
2.      Pada waktu terjadi interaksi, berikan siswa petunjuk contohnya, dengan menggambarkan tabel pada papan tulis, memadu siswa seorang-seorang atau dalam kelompok kecil yang sekiranya membutuhkan bantuan guru.
3.      Memberikan kesempatan kepada siswa untuk membandingkan jawaban mereka dengan jawaban temannya dalam diskusi kelas. Diskusi bertujuan untuk mengarahkan interpretasi siswa dalam menterjemahkan soal kontekstual dan menyimpulkan solusi yang lebih efisien dari beberapa jawaban yang bervariasi.
4.      Biarkan siswa menemukan solusi dengan cara mereka sendiri. Artinya siswa bebas untuk membuat pernyataan dengan tingkat kemampuannya, untuk membangun pengalaman dalam pengetahuan, dan memainkan jawaban pendek pada langkah-langkah yang mereka kerjakan.
5.      Berikan soal lain dalam konteks yang sama.
6.      Dalam hal lain, peranan siswa dalam pembelajaran matematika realistik harus bekerja sendiri-sendiri atau kelompok, mereka harus lebih percaya diri sendiri, dan mereka menjawab dengan free production atau kontribusi.
d.      Evaluasi
Lange (1995) merumuskan lima prinsip dalam evaluasi yang dapat dijadikan acuan dalam membuat evaluasi dalam pembelajaran matematika realistik, yaitu:
1.      Tujuan dasar tes adalah untuk meningkatkan kualitas belajar dan mengajar. Artinya evaluasi harus dapat mengukur siswa selama pembelajaran, bukan sekedar penyediaan informasi tentang hasil belajar dalam bentuk nilai.
2.      Metode penilaian harus dirancang sedemikian rupa sehingga memungkinkan siswa untuk menggambarkan apa yang mereka ketahui bukan mengungkapkan apa yang tidak mereka ketahui. Hal tersebut dapat diadakan dengan memiliki soal yang terbuka, atau mempunyai strategi jawaban yang berbeda.
3.      Tes harus melibatkan semua tujuan dari pendidikan matematika, proses berfikir tingkat rendah, menengah, dan tinggi.
4.      Alat evaluasi harus bersifat praktis, sehingga kontruksi tes dapat disusun dengan format yang berbeda-beda sesuai dengan kebutuhan serta pencapaian tujuan yang ingin diungkapkan.

BAB III
PEMBAHASAN

3.1   Pengertian Realistic Mathematics Education (RME)

Kata “realistik” merujuk pada pendekatan dalam pendidikan matematika yang telah dikembangkan di Belanda selama kurang lebih 30 tahun. Pendekatan ini mengacu pada pendapat Freudenthal  (dalam Gravemeijer, 1994) yang mengatakan bahwa matematika harus dikaitkan dengan realita dan kegiatan manusia. Pendekatan ini kemudian dikenal dengan Realistic Mathematics Education (RME).
Realistic Mathematics Education (RME) atau Pembelajaran Matematika Realistik Indonesia (PMRI) merupakan teori belajar mengajar dalam pendidikan matematika. Teori RME ini mengacu fakta pendapat freundenthal (Asmin, 2001) yang juga mengatakan bahwa "matematika harus dekat dengan anak dan relevan dengan kehidupan nyata sehari-hari".
Soedjadi (2001: 2) mengemukakan bahwa pembelajaran matematika realistik pada dasarnya pemanfaatan realitas dan lingkungan yang dipahami peserta didik untuk memperlancar proses pembelajaran matematika sehingga dapat mencapai tujuan pendidikan matematika secara lebih baik dari pada masa lalu. Lebih lanjut Soedjadi menjelaskan yang dimaksud dengan realitas yaitu hal-hal nyata atau konkrit yang dapat dipahami atau diamati peserta didik lewat membayangkan, sedang yang dimaksud dengan lingkungan adalah lingkungan tempat peserta didik berada baik lingkungan sekolah, keluarga maupun masyarakat yang dapat dipahami peserta didik. Lingkungan ini juga disebut juga kehidupan sehari-hari.
Pembelajaran matematika realistik adalah atau Realistic Mathematics Education (RME) adalah sebuah pendekatan pembelajaran matematika yang dikembangkan Hans Freudenthal di Belanda.Gravemeijer (1994: 82) dimana menjelaskan bahwa yang dapat digolongkan sebagai aktivitas tersebut meliputi aktivitas pemecahan masalah, mencari masalah dan mengorganisasi pokok persoalan.Matematika realistik yang dimaksudkan dalam hal ini adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menemaptkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran.Masalah-masalah realistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal.
Karakteristik RME menggunakan: konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif dan keterkaitan. Pembelajaran matematika realistik diawali dengan masalah-masalah yang nyata, sehingga siswa dapat menggunakan pengalaman sebelumnya secara langsung.Dengan pembelajaran matematika realistik siswa dapat mengembangkan konsep yang lebih komplit.Kemudian siswa juga dapat mengaplikasikan konsep-konsep matematika ke bidang baru dan dunia nyata.

3.2    Komponen Realistic Mathematics Education (RME)
Menurut Soedjadi (2001:3) pembelajaran matematika realistik mempunyai beberapa karakteristik dan komponen sebagai berikut:
Ø  The use of context (menggunakan konteks), artinya dalam pembelajaran matematika realistik lingkungan keseharian atau pengetahuan yang telah dimiliki siswa dapat dijadikan sebagai bagian materi belajar yang kontekstual bagi siswa.
Ø  Use models, bridging by vertical instrument (menggunakan model), artinya permasalahan atau ide dalam matematika dapat dinyatakan dalam bentuk model, baik model dari situasi nyata maupun model yang mengarah ke tingkat abstrak.
Ø  Students constribution (menggunakan kontribusi siswa), artinya pemecahan masalah atau penemuan konsep didasarkan pada sumbangan gagasan siswa.
Ø  Interactivity (interaktif), artinya aktivitas proses pembelajaran dibangun oleh interaksi siswa dengan siswa, siswa dengan guru, siswa dengan lingkungan dan sebagainya.
Ø  Intertwining (terintegrasi dengan topik pembelajaran lainnya), artinya topik-topik yang berbeda dapat diintegrasikan sehingga dapat memunculkan pemahaman tentang suatu konsep secara serentak.

3.3    Prinsip dan ciriRealistic Mathematics Education (RME)

Terdapat prinsip-prinsip pembelajaran realistik dalam kurikulum matematika realistik yaitu:
Ø  Didominasi oleh masalah-masalah dalam konteks, melayani dua hal yaitu sebagai sumber dan sebagai terapan konsep matematika.
Ø  Perhatian diberikan kepada pengembangan model-model, situasi, skema, dan simbol-simbol.
Ø  Sumbangan dari para siswa, sehingga siswa dapat membuat pembelajaran menjadi konstruktif dan produktif, siswa memproduksi sendiri dan mengkonstruksi sendiri sehingga dapat membimbing para siswa dari level matematika informal menuju matematika formal.
Ø  Interaktif sebagai  karakteristik dari proses pembelajaran matematika
Ø  Interwinning (membuat jalinan) antar topik atau antar pokok bahasan.
Menurut Treffers dan Goffree (2004) bahwa masalah kontekstual dalam kurikulum realistik, berguna untuk mengisi sejumlah fungsi:
Ø  Pembentukan konsep: Dalam fase pertama pembelajaran, para siswa diperkenankan untuk masuk ke dalam matematika secara ilmiah dan termotivasi.
Ø  Pembentukan model: Masalah-masalah konstekstual memasuki fondasi siswa untuk belajar operasi, prosedur, notasi, aturan, dan mereka mengerjakan ini dalam kaitannya dengan model-model lain yang kegunaannya sebagai pendorong penting dalam berpikir.
Ø  Penerapan : masalah konstektual menggunakan reality sebagai sumber dan domain untuk terapan.
Ø  Praktek dan latihan dari kemampuan spesifik dalam situasi terapan.
Ciri – CiriRealistic Mathematic Education(RME)
Fauzan (2001:2) mengemukakan bahwa pembelajaran yang menggunakan RME memiliki beberapa ciri, yaitu:
  1. Matematika dipandang sebagai kegiatan manusia sehari-hari, sehingga memecahkan masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari (contextual problem) merupakan bagian yang esensial.
  2. Belajar matematika berarti bekerja dengan matematika (doing mathematics).
  3. Siswa diberi kesempatan untuk menemukan konsep-konsep matematika di bawah bimbingan orang dewasa (guru).
  4. Proses belajar mengajar berlangsung secara interaktif dan siswa menjadi fokus dari semua aktivitas di kelas.
  5. Aktivitas yang dilakukan meliputi: menemukan masalah-masalah kontekstual (looking for problems), memecahkan masalah (solving problems), dan mengorganisir bahan ajar (organizing a subject matter).

3.4    Tipe Matematisasi dalam Realistic Mathematic Education (RME)
Menurut Treffers dan Goffree (2003) terdapat dua tipe matematisasi yang dikenal dalam Realistic Mathematic Education (RME) yaitu:
Ø  Matematisasi horizontal
Proses matematika horizontal pada tahapan menengah persoalan sehari-hari menjadi persoalan matematika sehingga dapat diselesaikan atau situasi nyata diubah ke dalam simbol-simbol dan model-model matematika.
Ø  Matematisasi vertikal
Proses matematika pada tahap penggunaan simbol, lambang kaidah-kaidah matematika yang berlaku secara umum.
3. 5    Tahap Pendekatan Realistic Mathematic Education (RME)
            Berdasarkan prinsip dan karakteristik RME serta memperhatikan berbagai pendapat tentang proses pembelajaran matematika dengan pendekatan RME di atas, maka disusun langkah-langkah pembelajaran dengan pendekatan RME sebagai berikut :
Langkah 1. Memahami masalah kontekstual
Guru memberikan masalah kontekstual sesuai dengan materi pelajaran yang sedang dipelajari siswa. Kemudian meminta siswa untuk memahami masalah yang diberikan tersebut. Jika terdapat hal-hal yang kurang dipahami oleh siswa, guru memberikan petunjuk seperlunya terhadap bagian-bagian yang belum dipahami siswa.
Karakteristik RME yang muncul pada langkah ini adalah karakteristik pertama yaitu menggunakan masalah kontekstual sebagai titik tolak dalam pembelajaran, dan karakteristik keempat yaitu interaksi.
Langkah 2. Menyelesaikan masalah kontekstual
Siswa mendeskripsikan masalah kontekstual, melakukan interpretasi aspek matematika yang ada pada masalah yang dimaksud, dan memikirkan strategi pemecahan masalah, selanjutnya siswa bekerja menyelesaikan masalah dengan caranya sendiri berdasarkan pengetahuan awal yang dimilikinya, sehingga dimungkinkan adanya perbedaan penyelesaian siswa yang satu dengan yang lainnya. Guru mengamati, memotivasi, dan memberi bimbingan terbatas, sehingga siswa dapat memperoleh penyelesaian masalah-masalah tersebut.
Karakteristik RME yang muncul pada langkah ini yaitu karakteristik kedua mernggunakan model.
Langkah 3. Membandingkan dan mendiskusikan jawaban.
            Guru menyediakan waktu dan kesempatan kepada siswa untuk membandingkan dan mendiskusikan jawaban mereka secara berkelompok, selanjutnya membandingkan dan mendiskusikan pada diskusi kelas. Pada tahap ini, dapat digunakan siswa untuk berani mengemukakan pendapatnya meskipun pendapat tersebut berbeda dengan lainya.
            Karakteristik pembelajaran matematika realistik yang tergolong dalam langkah ini adalah karakteristik ketiga yaitu menggunakan kontribusi siswa  (students constribution) dan karakteristik keempat yaitu terdapat interaksi  (interactivity) antara siswa dengan siswa yang lain.
Langkah 4. Menyimpulkan.
            Berdasarkan hasil diskusi kelas, guru memberi kesempatan pada siswa untuk menarik kesimpulan suatu konsep atau prosedur yang terkait dengan masalah realistic yang diselesaikan.
3.6 Manfaat  Pendekatan Realistic Mathematic Education (RME)
Pembelajaran  dengan menggunakan pendekatan realistic mathematic education (RME) diawali dengan fenomena, kemudian siswa dengan bantuan guru diberikan kesempatan menemukan kembali dan mengkonstruksi konsep sendiri.  Setelah itu, diaplikasikan dalam masalah  sehari-hari atau dalam bidang lain.
Adapun manfaat dari pembelajaraan RME adalah :
·         Untuk siswa
1.    Siswa lebih mudah menyelesaikan masalah dikaitkan dengan masalah-masalah dalam kehidupan nyata.
2.      Siswa dapat menyelesaikan secara informal sebelum menggunakan secara formal sehingga mendorong siswa untuk belajar di dalam kehidupan nyata.
3.      Siswa dapat mengkonstruk pengetahuannya sendiri dan lebih aktif.
·         Untuk Guru
1.    Membantu Guru dalam pemahaman masalah
2.    Guru dapat mengetahui seberapa jauh pemahaman siswa terhadap konsep masalah yang ada.
3.  Guru dapat mengaitkan topik dengan masalah kehidupan sehari-hari.
4.    Guru hanya sebagai fasilitator belajar dan mampu membangun pengajaran yang interaktif.
3.7 kelebihan dan kekurangan Realistic Mathematic Education
·         Kelebihan
Menurut suwarsono (2001:5) terdapat kekuatan atau kelebihan dari pembelajaran matematika realistik, yaitu :
  1. Pembelajaran matematika realistik memberikan pengertian yang jelas kepada siswa tentang keterkaitan matematika dengan kehidupan sehari-hari dan kegunaan pada umumnya bagi manusia.
  2. Pembelajaran matematika realistik memberikan pengertian yang jelas kepada siswa bahwa matematika adalah suatu bidang kajian yang dikonstruksi dan dikembangkan sendiri oleh siswa tidak hanya oleh mereka yang disebut pakar dalam bidang tersebut.
  3. Pembelajaran matematika realistik memberikan pengertian yang jelas kepada siswa bahwa cara penyelesaian suatu soal atau masalah tidak harus tunggal dan tidak harus sama antara yang satu dengan yang lain. Setiap orang bisa menemukan atau menggunakan cara sendiri, asalkan orang itu sungguh-sungguh dalam mengerjakan soal atau masalah tersebut. Selanjutnya dengan membandingkan cara penyelesaian yang satu dengan cara penyelesaian yang lain, akan bisa diperoleh cara penyelesaian yang paling tepat, sesuai dengan tujuan dari proses penyelesaian masalah tersebut.
  4. Pembelajaran matematika realistik memberikan pengertian yang jelas kepada siswa bahwa dalam mempelajari matematika, proses pembelajaran merupakan suatu yang utama dan orang harus menjalani proses itu dan berusaha untuk menemukan sendiri konsep-konsep matematika dengan bantuan pihak lain yang sudah tahu ( misalnya guru ). Tanpa kemauan untuk menjalani sendiri proses tersebut, pembelajaran yang bermakna tidak akan tercapai.
·         Kekurangan
Adanya persyaratan-persyaratan tertentu agar  kelebihan RME dapat muncul justru menimbulkan kesulitan tersendiri dalam menerapkannya. Kesulitan-kesulitan tersebut, yaitu :
  1. Tidak mudah untuk merubah pandangan yang berdasar tentang berbagai hal, misalnya mengenai siswa, guru dan peranan soal atau masalah konstektual, sedang perubahan itu merupakan syarat untuk dapat diterapkannya RME.
  2. Pencarian soal-soal konstektual yang memenuhi syarat-syarat yang dituntut dalam pembelajaran matematika realistik tidak selalu mudah untuk setiap pokok bahasan matematika yang dipelajari siswa, terlebih-lebih karena soal-soal tersebut harus bisa diselesaikan dengan bermaca-macam cara
  3. Tidak mudah bagi guru untuk mendorong siswa agar bisa menemukan berbagai cara dalam menyelesaikan soal atau memecahkan masalah
  4. Tidak mudah bagi guru untuk memberi bantuan kepada siswa agar dapat melakukan penemuan kembali konsep – konsep atau prinsip – prinsip matematika yang dipelajari.







BAB  IV
PENUTUP
4.1   SIMPULAN
Pendekatan realistik adalah salah satu pendekatan pembelajaran yang menerapkan agar pembelajaran bertitik tolak pada hal-hal yang nyata bagi siswa, menekankan keterampilan berdiskusi, dan berargumentasi dengan teman sekelas. Sehingga mereka dapat menemukan sendiri, dan pada akhirnya menggunakan matematika dalam menyelesaikan masalah baik secara individu maupun secara kelompok. Tidak ada satupun model pembelajaran yang diangap paling baik diantara model- model pembelajaran yang lain. Tiap model pembelajaran mempunyai karakteristik tertentu dengan segala kelebihan dan kelemahan masing- masing. Suatu model pembelajaran jika digunakan sesuai situasi dan kondisi pasti akan jadi model pembelajaran yang baik.
4.2 SARAN
Berdasarkan simpulan dari penulisan ini untuk mencapai kesuksesan dalam pembelajaran realistik penulis memberikan saran – saran sebagai berikut:
1.      Diperlukan adanya kesadaran siswa dalam bertanggung jawab terhadap setiap pelajaran yang dipelajari  disekolah.
2.      Diperlukan adanya kesadaran antara pengajar dengan siswa agar pembelajaran realistik dapat berjalan dengan baik.
3.      Setiap pengajar diharapkan menguasai bermacam- macam metode pembelajaran.




DAFTAR PUSTAKA

Depdiknas. 2006. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan Standar Kompetensi SMP dan MTs. Jakarta : Depdiknas.

Marpaung, Y. 2006. Sintaks Pembelajaran dan Soal PMRI. (Penggalan makalah yang disampaikan pada seminar dan lokakarya pembelajaran matematika). Yogyakarta : PPPG Matematika.

Rahayu, Endang Diningsih. 2008. Metode Pembelajaran Realistik. Skripsi tidak diterbitkan. Tulungagung . STKIP PGRI Tulungagung.

Supinah. 2007. Pembelajaran Matematika dengan Model PMRI. Yogyakarta : PPPG Matematika.

Suryanto & Sugiman. 2003. Pembelajaran Matematika Realistik (Disampaikan pada seminar Pendekatan realistik dan sani dalam Pendidikan Matematika di Indonesia). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.


Wikipedia. 2009 Pendidikan, (Online), (http://id.wikipedia.org/wiki/Pendidikan diakses pada tanggal 2 Desember 2009)

Wordpress.2009 Pembelajaran realistik, (online), (http://ipotes.wordpress.com/Pembelajaran Realistik) diakses pada tanggal 17 Desember 2009)


















RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
( RPP )
Sekolah                             :  SMK Al Jabbar Ciledug
Mata Pelajaran                :  Matematika – Wajib
Kelas/Semester                 : X/1
Materi Pokok                   :  Barisan dan Deret Aritmatika
Alokasi Waktu                 :  2 x 45 Menit
A. KOMPETENSI INTI
1.   Menghayatidan mengamalkan ajaranagamayangdianutnya.
2. Menghayatidanmengamalkan  perilaku jujur,  disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai),santun, responsifdan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian darisolusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secaraefektif dengan lingkungan sosial dan alam sertadalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsadalam pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan,dan menganalisispengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasaingin tahunyatentangilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humanioradengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,dan peradaban terkaitpenyebab fenomenadan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural padabidangkajian yangspesifik sesuai dengan bakat dan minatnyauntuk memecahkan masalah.
 4.  Mengolah, menalar, dan menyajidalam ranah konkret dan ranahabstrak terkait dengan pengembangan dari yangdipelajarinyadi sekolah secaramandiri, bertindak secara efektif dankreatif,serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
B.  KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR
2.1 Memilikimotivasiinternal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percayadiri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalammemilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
       1. Bekerjasama dalam kegiatan kelompok dengan baik.
2. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif dengan baik.
2.2  Mampu mentransformasidiri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggungjawab, rasa ingin tahu, jujurdan perilakupedulilingkungan.
  1. Terlibat aktif dalam pembelajaran barisan dan deret dengan baik

3.1 Memprediksipola barisan dan deretaritmetika.lainnyamelalui pengamatan dan memberikan alasannya.
        1. Menelaah pola barisan dan deret dengan teliti
4.1 Menyajikan hasil,menemukan pola barisan dan deret dan penerapannyadalam penyelesaian masalah sederhana
1.      Terampil menerapkan pola barisan dan deret dengan benar.
C.    TUJUAN PEMBELAJARAN
Dengan kegiatan diskusi dan pendekatan pembelajaran RME  dalam pembelajaran barisan dan deret ini, diharapkan siswa terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggungjawab dalam menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, memberi saran dan kritik, serta dapat:
1.      Menjelaskan kembali pengertian barisan dan deret aritmatika secara tepat, sistematis, dan menggunakan notasi yang benar.
D. MATERI PELAJARAN
       Mengamati dan memahami pola barisan dan deret pada  buku  siswa .


E.     MODEL/METODE PEMBELAJARAN
Pendekatan pembelajaran adalah pendekatan RME(Realistik Mathemathics Education). Pembelajaran menggunakan metode diskusi kelompok berbasis penyelesaian masalah (problem based learning).

F.     KEGIATAN PEMBELAJARAN
KEGIATAN
DESKRIPSI KEGIATAN
ALOKASI WAKTU
Pendahuluan
1.    Guru memberi salam dan Murid menjawabnya.
2.   Guru mengecek kehadiran siswa dan menyampaikan tujuan pembelajaran
3.   Memotivasi dan Mengaitkan materi dengan pengetahuan awal yang di miliki oleh siswa dan Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa diajak menghitung susunan batang bambu seperti pada gambar berikut:

4.    Siswa menduga banyaknya bambu pada urutan ke 4,5,6
5.    Siswa menduga jumlah semua bambu yang digunakan pada gambar tersebut
15 menit
Inti
1.    Siswa menelaah pada buku paket Matematika selama 5 menit.
2.    Siswa mencoba membuat sebuah pola dengan batang korek api, kemudian mencoba menentukan urutan ke lima dan jumlah batang korek api yang digunakan sampai urutan ke lima dalam waktu 10 menit.
3.      Siswa diminta untuk membentuk kelompok seperti yang telah ditentukan guru sebelumnya;
4.      Guru menampilkan permasalahan/kasus untuk memberikan gambaran yang berkaitan dengan dengan konsep pola barisan dan deret aritmatika
5.      Guru memberikan LKS (Lembar Kerja Siswa) yang sesuai dengan permasalahan yang ditampilkan.
6.      Guru meminta siswa untuk berdiskusi dalam menyelesaiakan permasalahan yang diberikan dalam LKS dengan menggunakan konsep yang telah dipelajari sebelumnya dengan pemanfaatan buku sumber untuk penguatan  konsep
7.      Siswa mempresentasikan hasil diskusi kelompok
8.    Siswa mengerjakan kuiz (tes kecil)
55 menit
Penutup
1.      Siswa menyimpulkan pola barisan dan deret bersama guru
2.      Siswa mendapat tugas untuk mencari 3 buah pola barisan/deret di lingkungan tempat tinggalnya secara kelompok, dikumpulkan pada pertemuan berikutnya
3.      Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan berdoa dan memberi motivasi.
10 menit

G.    MEDIA PEMBELAJARAN
1. Kotak korek api/bahan lain yang ada di lingkungan sekolah
2. Perangkat komputer dan LCD
3. Lembar penilaian

H.    SUMBER PEMBELAJARAN
1.      Buku paket Matematika kelas X






I.    PENILAIAN HASIL BELAJAR
1.      Teknik penilaian : pengamatan, tes tertulis, proyek
2.      Prosedur penilaian:
NO
ASPEK YANG DINILAI
TEKNIK PENILAIAN
WAKTU PENILAIAN
1
Sikap
a.      Terlibat aktif dalam pembelajaran pola barisan dan deret
b.      Bekerjasama dalam kegiatan kelompok
c.       Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif
Teknik:Pengamatan
Bentuk: Lembar
Pengamatan
Selama pembelajaran dan saat diskusi
2
Pengetahuan
Menjelaskan kembali pengertian pola  barisan dan deret
Teknik: tes tertulis
Instrumen: berbentuk uraian
Setelah diskusi
3
Penutup
Terampil menerapkan pola barisan dan deret
Bentuk: Proyek
Instrumen: Rubrik Proyek
Penyelesaian tugas kelompok
J.      INSTRUMEN PENILAIAN HASIL BELAJAR
a.      Tes Tertulis









LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN SIKAP
Mata Pelajaran            : Matematika
Kelas/Semester            : X/1
Tahun Pelajaran           : 2013/2014
Waktu Pengamatan     : Selama proses pengamatan

Indikator sikap aktif dalam pembelajaran barisan dan deret
1. Kurang baik jika menunjukkan samasekali tidak ambil bagian dalampembelajaran
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam pembelajaran tetapi belum ajeg/konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam menyelesaikan tugas kelompok secara terus menerus dan ajeg/konsisten

Indikator sikap bekerjasama dalam kegiatan kelompok.
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok.
2.  Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok tetapi masih belum ajeg/konsisten.
3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha bekerjasama dalam kegiatan kelompok secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Indikator sikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif.
1. Kurang baik jika sama sekali tidak bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif tetapi masih belum ajeg/konsisten.
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Bubuhkan tanda * pada kolom yang sesuai
NO
NAMA SISWA
SIKAP


AKTIF
BEKERJA SAMA
TOLERAN


KB
B
SB
KB
B
SB
KB
B
SB






















KETERANGAN :
KB      : Kurang baik
B         : Baik
SB       : Sangat baik











LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN (PROYEK)
Mata Pelajaran            : Matematika
Kelas/Semester            : X/1
Tahun Pelajaran           : 2013/2014
Waktu Pengamatan     : Selama pembelajaran

Indikator terampil menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan pola dan konsep barisan dan deret
1. Kurang terampil jika sama sekali tidak dapat menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan pola dan konsep barisan dan deret
2. Terampil jika menunjukkan sudah ada usaha untuk menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan pola dan konsep barisan dan deret belum tepat
3. Sangat terampill, jika menunjukkan adanya usaha untuk menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan pola dan konsep barisan dan deret sudah tepat
Bubuhkan tanda √pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan
KELOMPOK
KREATIFITAS
KEJELASAN JAWABAN LENGKAP
KERJASAMA DENGAN KELOMPOK
KEBENARAN JAWABAN
1




2



















RUBRIK PROYEK
NILAI
KRITERIA
4
Kreatifitas tinggi, kejelasan jawaban lengkap, kerjasama sangat bagus, jawaban benar
3
Kreatifitas tinggi, kejelasan jawaban tidak lengkap, kerjasama sangat bagus, jawaban benar
2
Kreatifitas sedang, kejelasan jawaban tidak lengkap, kerjasama tidak bagus, jawaban benar
1
Tidak mengerjakan tugas/proyek

Lamongan ,...................................2013


Mengetahui,
Kepala Sekolah

Anugerah Raharjo, S.Pd

Guru Mata Pelajaran

Nofitasari

















BUKU SISWA
Materi
“barisan dan deret aritmatika”
(Materi matematika untuk kelas X  semester ganjil kurikulum 2013)







A.Barisan Bilangan
Apa yang akan kamu pelajari?
· Pengertian barisan bilangan
· Mengenal unsur-unsur barisan, suku, dan beda.
· Menentukan suku ke- n dari suatu barisan
Kata Kunci:
· Barisan
· Suku ke- n
 

1.   Pengertian Barisan
Setiap senin di sekolahmu selalu diadakan upacara bendera.tentunya siswa – siswi akan membentuk suatu barisan yang rapi.
·     Bagaimanakah cara mengatur barisan itu supaya rapi?
·     Bagaimanakah cara mengurutkan barisan?
·     Apakah ada aturan untuk mengurutkannya?
Pada suatu barisan, tinggi 6 siswa masing- masing adalah 135 cm, 140 cm, 150 cm, 155 cm, 160 cm, dan 170 cm. Apakah barisan diatas membentuk suatu pola?
Barisan bilangan adalah urutan bilangan –bilangan dengan aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku.
Perhatikanlah setiap barisan dibawah ini!
a.   1, 3, 5, 7, 9,11, seterusnya yang selalu bilangan ganjil
b.  -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, dan seterusnya yang selalu berselisih 5
Barisan  bilangan pada a sering kita jumpai dalam kehidupan sehari – hari.misalnya, ketika mencari nomor rumah 5, kamu tentu akan mencari pada sisi yang lain yaitu deretan rumah bernomor ganjil.
Coba perhatikan barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, dan seterusnya.
-    Suku ke-1 adalah 1, biasanya ditulis dengan lambang U1 = 1
-    Suku ke-2 adalah 3, biasanya ditulis dengan lambang U2 = 3
-     Suku ke-3 adalah 5, biasanya ditulis dengan lambang U3 = 5
-    Dan seterusnya.
Berapakah suku ke-4?
Dalam menentukan suku ke-4 dari barisan harus diketahui tata urutan suku barisan itu. Dalam hal ini, suatu bilangan yang tetap ditambahkan agar didapat bilangan di depannya. Bilangan tetap itu disebut selisih atau beda.
Beda itu boleh positif atau negatif. Jika beda itu positif, maka barisan itu menjadi bertambah nilainya. Jika beda itu negatif, maka barisan itu menjadi berkurang nilainya.
Contoh 4:
Suatu barisan bilangan diketahui 2, 5, 8, 11....dan seterusnya.tentukanlah
a.   Suku ke-1                                
b.  Suku ke-2
c.   Suku ke-3 
d.  Suku ke-4
e.  Suku ke-5
f.    Beda
g.   Aturan tiap suku
Penyelesaian


a.   U1= 2
b.  U2= 5
c.   U3= 8
d.  U4= 11
e.  U5 = 14
f.    Bedanya 3
g.   Aturan tiap suku diperoleh dengan cara menambahkan 3
2.   Menentukan suku ke-n dari suatubarisan
Penulisan barisan bilangan dapat dinyatakan dalam rumus aljabar. Misalkan: barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7,dan seterusnya.dapatkah kamu menyebutkan suku ke-100? untuk menjawab pertanyaan diatas, kamu tidak perlu menulis baris bilangan sampai suku ke-100. Akan tetapi, gunakanlah suku ke-n dari barisan bilangan. Barisan bilangan ganjil tadi dapat kita petakan dengan barisan bilangan asli.
Bilangan asli 1, 2, 3, 4.....n
          1  3 5  7        Un          
Pada tiap suku mempunyai beda 2, maka rumus suku ke-n bilangan ditulis dengan Un = 2n – 1 dengan n anggota bilangan asli.
Untuk suku ke-100, suku ke-n tinggal diganti menjadi U100 = 2 x 100 -1 =199. Jadi, suku ke-100 dari bilangan ganjil adalah 199
Contoh 5 :Carilah suku ke-n dari suatu barisan 1, 4, 7, 10 .....dan seterusnnya. Tentukan suku ke 200 barisan berikut.
Penyelesaian:Beda suku yang berurutan adalah suku-n  adalah Un = 3n – 2
U200 = 3 x 200-2 = 598
Apa yang akan kamu pelajari?
·         Pengertian barisan dan deret aritmatika naik apa turun.
·         Menentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dan jumlah n suku pertama deret aritmatika.
·         Menghitung nilai suku ke –ndari barisan aritmatika dan jumlah n suku pertama deret aritmatika.
Kata kunci
·         Beda
·         Suku ke-n
Jadi, suku ke-200 adalah598
A.   Barisandan Deret Aritmatika
1. Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku selanjutnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda. Apabila bedanya positif, maka barisan itu naik. Apabila bedanya negatif, maka barisan itu turun. Perhatikan barisan – barisan berikut.
a.    100, 90, 80, 70,....
b.    6, 12, 18, 24,....
Barisan a dan b merupakan barisan aritmatika. Pada tiap barisan bilangan- bilangan diatas, beda dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).Suatu barisan U1, U2, U3, U4...... Un, disebut barisan aritmatika jika untuk setiap nilai n berlaku.U2 -U1, U3-U2 =...... Un- Un-1= b, dengan b suatu tetapan yang tidak tergantung pada n
Menentukan Rumus Suku Ke-nBasisan Aritmatika
Jika suku pertama U1kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut
U1,     U2,     U3,        U4,. . . . . . . Un

a   a+b  a+2b a+3b  a+(n-1)b
rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah
U= a+(n-1)b
Sifat-sifat suku ke-n
Un­ = a + (n - 1)b = a + bn – b = bn + (a - b)
Jadi suku ke-n suatu barisan aritmatika dalah fungsi linear dari n, dengan bilangan asli.
Contoh 6 :suatu barisan aritmatika 2, 5, 8, 11. . . dan seterusnya.Tentukanlah :
a.  suku pertama
b.  beda
c.   suku ke-15
d.  rumus suku ke-n
penyelesaian :
Barisan 2, 5, 8, 11. . . dan seterusnya.
a.   suku pertama U1= a= 2
b.  Beda b = 3
c.   Suku ke-15
U15 = a + (n-1)b
             = 2 + (n-1)b
             = 2 + (14)3
             =2 + 42
             = 43
d. Rumus suku ke-n
Un = a + (n-1)b
   = 2 + (n-1)3
   = 2 + 3n-3
Un = 3n-1
Contoh 7 :Suku pertama sebuah barisan aritmatika sama dengan 2, sedangkan bedanya sama dengan 5.
a.          Carilah suku yang ke-15
b.         Suku berapakah yang nilainya sama dengan 97
Penyelesaian:
a.    U1 = a = 2
b = 5
Un­= a + ( n – 1)b
= 2 + (n - 1)5
= 2 + 5n- 5
= 5n – 3
U15= 5 x 15 – 3
= 75 – 3
= 72
                        jadi suku ke-15 adalah 72
b.    U n= 97
U n= 5n – 3
5n = U n + 3
5n = 97 + 3
5n = 100
n = 2
Jadi suku yang nilai 97 adalah suku yang ke-20
2.Deret Aritmatika
Pada bahasan sebelumnya kamu sudah mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret aritmatika.
Jika U1, U2,U3.... Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1+U2+U3....+Un disebut deret aritmatika.
Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn maka
Sn = U1+U2+U3....+Un
Seorang matematikawan karl friedrech gauss ( 1777 – 1855 ) ketika di sekolah dasar, gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asli yang pertama. Gauss memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai berikut:
S100 = 1 + 2 + 3 +....+ 99 + 100
S100 = 100 + 99 +....+ 2 + 1
+
2S100= 101 + 101 + 101 + ....+ 101 +101
2S100 = 100 x 101
S100 = 100 x 101  = 5050
     2        
Jadi, jumlah seratus bilangan asli yang pertama adalah 5050.
Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n buah suku pertama (Sn), dari aritmatika , yaitu
Sn = U1+U2+U3....+Un
Atau Sn = a+ (a + b) + ( a+2b) +.....+( Un -2 b) +( Un – b ) + Un
Kemudian, urutan suku-suku dijumlahkan dan dibalik sehingga
Sn = a+ (a + b) + ( a+2b) +.....+( Un -2 b) +( Un – b ) + Un
Sn = Un +( Un – b )  +( Un -2 b)  +.....+( a+2b) +(a + b) + a
                                                                                                                                                +
2Sn = (a + Un) +(a + Un) +(a + Un) +......+(a + Un) +(a + Un)+(a + Un)

Penjumlahan n suku, tiap sukunya  (a + Un )
2Sn = n  ( a + Un )
Sn=  ( a + Un )
Sn=  ( a + Un )atauSn=  [ 2a+(n – 1 )b ]
Un = a + ( n - 1)b
Jadi, Sn merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan asli.
Contoh 8: Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + ....,Carilah Rumus suku ke-n
Rumus jumlah n suku pertama Jumlah 20 suku pertama
Penyelesaian:
  1. Diketahui: a = 1, dan b = 3
Un = a + ( n - 1)b
= 1 + ( n - 1)3
= 3n – 1
  1. Jumlah n suku pertama
Sn=  n  ( 1 + 3n - 2)
                         2    
                Sn=  n  (3n - 1)
                         2    
                Sn=  3n2 – n
         2           2
  1. Jumlah 20 suku pertama
Sn=  3n2 – n
         2           2
Sn=  3(20)2 – 20
          2           2
= 600 – 10
= 590
Jadi,  20 jumlah suku pertama adalah 590.


LAMPIRAN 1 : Bahan Ajar Materi (LKS)
LEMBAR KERJA SISWA

SEKOLAH                : SMKN 3 KUNINGAN
KELAS/SEMESTER : X/SATU
MATERI POKOK    : Konsep Barisan dan deret Aritmatika
PETUNJUK KERJA
a.    Lembar Kerja ini memuat permasalahan yang harus diselesaikan.
b.    Di sepanjang Lembar Kerja Kamu akan menemukan perintah-perintah berikut ini:
·         AMATI:  amati permasalahan yang diberikan di bawah ini
·         TULISKAN KEMBALI:  menuliskan kembali materi yang telah diberikan dalam kalimat matematika
·         PIKIRKAN: memikirkan materi atau informasi yang ditampilkan sebagai petunjuk dalam menyelesaiakan permasalahan;
·         LATIHAN: mengerjakan soal
·         SELIDIKI: mengembangkan keterampilan berpikir dalam penyelesaian masalah
Nama siswa:
1.       ………………………………………………………………………..
2.       …………………………………………………………………..........
3.       ……………………………………………………………………….
 






Selamat Belajar
1.selesaikan soal di bawah ini !
Jawaban :                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                   
2. Seorang pegawai mendapat gaji pertama Rp.1000.000,- setiap ia mendapatkan kenaikan gaji Rp.100.000,-. Berapakah jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut dalam waktu 10 bulan. Jika anda perhatikan masalah tersebut sebenarnya permasalahan deret aritmatika dalam menentukan jumlah n suku. Suku pertama dari deret tersrebut 1000.000 dan bedanya 100.000 dengan demikian, deret aritmatika dari masalah tersebut adalah 1000.000 + 1.100.000 + . . . + U10
 Jawaban:
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................




Kunci jawaban lembar kerja siswa
1.        Diketahui: Misalkan:
a:  Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b:  Perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.
P2005: Perkiraan Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005.
Jadi, a= Rp. 6.000.000,- b= Rp. 500.000,- dan P2005 akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke ndari barisan aritmatika dengan:
U1 = a = Rp. 6.000.000,-
b= Rp. 500.000,-
P2005 =  U6 = a + 5b
  = 6.000.000 + 5 (500.000)
  = 6.000.000 + 25.500.000
  = 8.500.000.
Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp. 8.500.000,-
2.        Suku ke-10 dari deret tersebut adalah
U10= a + 9b
            = 1000.000 + 9(100.000)
            = 1.900.000
Sehingga jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut:
S10=  (1.000.000 + 1.900.000)
            = 5 (2.900.000)
            = 14.500.000
Jadi, jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut selama kurun waktu 10 bulan adalah Rp.14.500.000,-



LAMPIRAN 2
SOAL KUIS
 BAB BARIS DAN DERET ARITMATIKA
1.        Setiap bulan, Gofur selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabbung Rp12.000,00,. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1000,00, setiap bulannya.
Nyatakanlah uang yang ditabung Gofur (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama.Tentukan jumlah uang yang ditabung Gofur pada bulan ke-12
2.        Sebuah perusahaan permen memproduksi 2.000 permen pada tahun pertama. Oleh karena permintaan konsumen setiap tahunnya, perusahaan tersebut memputuskan untuk meningkatkan produksi permen sebanyak 5% dari produksi awal setiap tahunnya.Nyatakan jumlah permen yang diproduksi perusahaan tersebut pada lima tahun pertama dalam barisan bilangan.
Tentukan jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 (U7)
Tentukan jumlah permen yang diproduksi sampai tahun ke-7 (S7)
3.        sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketuju 24.
a. tentukan beda dan tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut.
4.        diketahui suatu barisan aritmetika: -8, -3, 2, 7, 12, 17, . . . tentukan rumus suku ke n yang berlaku pada barisan tersebut
5.        Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .
6.        Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.
7.        Suku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturut-turut adalah 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut.
8.        Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 4n. Tentukan suku ke-n deret tersebut dan bedanya. Tentukan pula U9.

KUNCI JAWABAN SOAL KUIS
1.        Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Gofur 8 bulan pertama adalah sebagai berikut:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
Diketahui : U1 = 10
b = 1
                  U12 = a + ( n – 1 )
                           = 10 + ( 12 – 1 ) 1
                           = 10 + 11
                           = 21
Jadi, uang yang ditabung Gofur pada bulan ke-12 adalah Rp21.000,00.
2.        Diketahui:            a =2.000, b =  x 2.000 = 100
Barisan bilangannya adalah sebagai berikut:
2.000, 2.100, 2.200, 2.300, 2.400
            b.    Un= a + (n – 1) b maka U7= 2.000 + (7 – 1)
                                                         = 2.000 + 6 x 100
                                                         = 2.000 + 600
                                                         = 2.600
Jadi, jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 adalah 2.600 permen.
c.Sn=  (a + Un) maka S7 =  (2.000 + 2.600)
                                     = 3,5 X 4.600 = 16.100
Jadi jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 adalah 16.100 permen
3.        Diketahui : suku pertama = a = 6
Suku ke tujuh = U7 = 36
Untuk menentukan beda:
Un = a +(n-1) b maka U7 = 6 + (7-1)b
                                 36 = 6 + 6b
                              36-6 = 6b
                                  b = 5
jadi, beda pada barisan itu adalah 5.
Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmatika sebagai berikut 6, 11, 16, 21, 31, 36, 41, 46, 51
4.         Diketahui: a = U1 =-8
            b = U2 – U1 = -3 – (-8)
                            =  -3 + 8 = 5
Jadi, rumus umum yang berlaku pada barisan  tersebut adalah
             Un = a +(n-1) b
                  = -8 + (n-1) 5
                  = -8 + 5n -5
                  = 5n – 13
5.        Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh Un = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.
6.         Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan Un = 40.
Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga :
40 = –2 + (n – 1)3
↔ 40 = 3n – 5
↔ 3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
7.         Diketahui U10 = 7 dan U14 = 15. Dari rumus suku ke-n barisan aritmetika Un = a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaitu :

U10 = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ............................ (1)
U14 = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ........................ (2)

Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan metode campuran antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh :

a + 9b
= 7
a + 13b
= 15
-
–4b
= –6
B
= 2

Dengan menyubstitusikan b = 2 ke persamaan (1), diperoleh :
a + 9(2) = 7 ↔ a = –11
Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah Un = –11 + (n – 1)2.
Jadi, suku ke-20 adalah U20 = –11 + (20 – 1)2 = 27.
8.         Sn = 2n2 – 4n → p = 2, q = –4
Un = 2pn + (q – p)
= 2 x 2 x n + (–4 – 2)
= 4n – 6
Beda = 2p = 2(2) = 4
Suku ke-10 dapat ditentukan dengan U9 = S9 – S8
S9 = 2(92) – 4(9) = 126
S8 = 2(82) – 4(8) = 96
Jadi, U9 = 126 – 96 = 30



Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)